本文主要向大家介绍了机器学习入门之台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记5 -- Training versus Testing，通过具体的内容向大家展现，希望对大家学习机器学习入门有所帮助。

上节课，我们主要介绍了机器学习的可行性。首先，由NFL定理可知，机器学习貌似是不可行的。但是，随后引入了统计学知识，如果样本数据足够大，且hypothesis个数有限，那么机器学习一般就是可行的。本节课将讨论机器学习的核心问题，严格证明为什么机器可以学习。从上节课最后的问题出发，即当hypothesis的个数是无限多的时候，机器学习的可行性是否仍然成立？

一、Recap and Preview

我们先来看一下基于统计学的机器学习流程图：

该流程图中，训练样本D和最终测试h的样本都是来自同一个数据分布，这是机器能够学习的前提。另外，训练样本D应该足够大，且hypothesis set的个数是有限的，这样根据霍夫丁不等式，才不会出现Bad Data，保证Ein≈Eout，即有很好的泛化能力。同时，通过训练，得到使Ein最小的h，作为模型最终的矩g，g接近于目标函数。

这里，我们总结一下前四节课的主要内容：第一节课，我们介绍了机器学习的定义，目标是找出最好的矩g，使g≈f，保证Eout(g)≈0；第二节课，我们介绍了如何让Ein≈0，可以使用PLA、pocket等演算法来实现；第三节课，我们介绍了机器学习的分类，我们的训练样本是批量数据（batch），处理监督式（supervised）二元分类（binary classification）问题；第四节课，我们介绍了机器学习的可行性，通过统计学知识，把Ein(g)与Eout(g)联系起来，证明了在一些条件假设下，Ein(g)≈Eout(g)成立。

这四节课总结下来，我们把机器学习的主要目标分成两个核心的问题：

1、Ein(g)≈Eout(g)

2、Ein(g)足够小

上节课介绍的机器学习可行的一个条件是hypothesis set的个数M是有限的，那M跟上面这两个核心问题有什么联系呢？

我们先来看一下，当M很小的时候，由上节课介绍的霍夫丁不等式，得到Ein(g)≈Eout(g)，即能保证第一个核心问题成立。但M很小时，演算法A可以选择的hypothesis有限，不一定能找到使Ein(g)足够小的hypothesis，即不能保证第二个核心问题成立。当M很大的时候，同样由霍夫丁不等式，Ein(g)与Eout(g)的差距可能比较大，第一个核心问题可能不成立。而M很大，使的演算法A的可以选择的hypothesis就很多，很有可能找到一个hypothesis，使Ein(g)足够小，第二个核心问题可能成立。

从上面的分析来看，M的选择直接影响机器学习两个核心问题是否满足，M不能太大也不能太小。那么如果M无限大的时候，是否机器就不可以学习了呢？例如PLA算法中直线是无数条的，但是PLA能够很好地进行机器学习，这又是为什么呢？如果我们能将无限大的M限定在一个有限的mH内，问题似乎就解决了。

二、Effective Number of Line

我们先看一下上节课推导的霍夫丁不等式：

其中，M表示hypothesis的个数。每个hypothesis下的BAD eventsBm级联的形式满足下列不等式：

当M=∞时，上面不等式右边值将会很大，似乎说明BAD events很大，Ein(g)与Eout(g)也并不接近。但是BAD eventsBm级联的形式实际上是扩大了上界，union bound过大。这种做法假设各个hypothesis之间没有交集，这是最坏的情况，可是实际上往往不是如此，很多情况下，都是有交集的，也就是说M实际上没那么大，如下图所示：

也就是说union bound被估计过高了（over-estimating）。所以，我们的目的是找出不同BAD events之间的重叠部分，也就是将无数个hypothesis分成有限个类别。

如何将无数个hypothesis分成有限类呢？我们先来看这样一个例子，假如平面上用直线将点分开，也就跟PLA一样。如果平面上只有一个点x1，那么直线的种类有两种：一种将x1划为+1，一种将x1划为-1：

如果平面上有两个点x1、x2，那么直线的种类共4种：x1、x2都为+1，x1、x2都为-1，x1为+1且x2为-1，x1为-1且x2为+1：

如果平面上有三个点x1、x2、x3，那么直线的种类共8种：

但是，在三个点的情况下，也会出现不能用一条直线划分的情况：

也就是说，对于平面上三个点，不能保证所有的8个类别都能被一条直线划分。那如果是四个点x1、x2、x3、x4，我们发现，平面上找不到一条直线能将四个点组成的16个类别完全分开，最多只能分开其中的14类，即直线最多只有14种：

经过分析，我们得到平面上线的种类是有限的，1个点最多有2种线，2个点最多有4种线，3个点最多有8种线，4个点最多有14（<24）种线等等。我们发现，有效直线的数量总是满足≤2N，其中，N是点的个数。所以，如果我们可以用effective(N)代替M，霍夫丁不等式可以写成：

已知effective(N)<2的N次方，如果能够保证effective(N)<<2的N次方，即不等式右边接近于零，那么即使M无限大，直线的种类也很有限，机器学习也是可能的。

三、Effective Number of Hypotheses

接下来先介绍一个新名词：二分类（dichotomy）。dichotomy就是将空间中的点（例如二维平面）用一条直线分成正类（蓝色o）和负类（红色x）。令H是将平面上的点用直线分开的所有hypothesis h的集合，dichotomy H与hypotheses H的关系是：hypotheses H是平面上所有直线的集合，个数可能是无限个，而dichotomy H是平面上能将点完全用直线分开的直线种类，它的上界是2N。接下来，我们要做的就是尝试用dichotomy代替M。

再介绍一个新的名词：成长函数（growth function），记为mH(H)。成长函数的定义是：对于由N个点组成的不同集合中，某集合对应的dichotomy最大，那么这个dichotomy值就是mH(H)，它的上界是2N：

成长函数其实就是我们之前讲的effective lines的数量最大值。根据成长函数的定义，二维平面上，mH(H)随N的变化关系是：

接下来，我们讨论如何计算成长函数。先看一个简单情况，一维的Positive Rays：

若有N个点，则整个区域可分为N+1段，很容易得到其成长函数mH(N)=N+1。注意当N很大时，(N+1)<<2N，这是我们希望看到的。

另一种情况是一维的Positive Intervals：

它的成长函数可以由下面推导得出：

这种情况下，mH(N)<<2N，在N很大的时候，仍然是满足的。

再来看这个例子，假设在二维空间里，如果hypothesis是凸多边形或类圆构成的封闭曲线，如下图所示，左边是convex的，右边不是convex的。那么，它的成长函数是多少呢？

当数据集D按照如下的凸分布时，我们很容易计算得到它的成长函数mH=2N。这种情况下，N个点所有可能的分类情况都能够被hypotheses set覆盖，我们把这种情形称为shattered。也就是说，如果能够找到一个数据分布集，hypotheses set对N个输入所有的分类情况都做得到，那么它的成长函数就是2N。

四、Break Point

上一小节，我们介绍了四种不同的成长函数，分别是：

其中，positive rays和positive intervals的成长函数都是polynomial的，如果用mH代替M的话，这两种情况是比较好的。而convex sets的成长函数是exponential的，即等于M，并不能保证机器学习的可行性。那么，对于2D perceptrons，它的成长函数究竟是polynomial的还是exponential的呢？

对于2D perceptrons，我们之前分析了3个点，可以做出8种所有的dichotomy，而4个点，就无法做出所有16个点的dichotomy了。所以，我们就把4称为2D perceptrons的break point（5、6、7等都是break point）。令有k个点，如果k大于等于break point时，它的成长函数一定小于2的k次方。

根据break point的定义，我们知道满足mH(k)≠2k的k的最小值就是break point。对于我们之前介绍的四种成长函数，他们的break point分别是：

通过观察，我们猜测成长函数可能与break point存在某种关系：对于convex sets，没有break point，它的成长函数是2的N次方；对于positive rays，break point k=2，它的成长函数是O(N)；对于positive intervals，break point k=3，它的成长函数是O(N2)。则根据这种推论，我们猜测2D perceptrons，它的成长函数mH(N)=O(Nk−1)。如果成立，那么就可以用mH代替M，就满足了机器能够学习的条件。关于上述猜测的证明，我们下节课再详细介绍。

五、总结

本节课，我们更深入地探讨了机器学习的可行性。我们把机器学习拆分为两个核心问题：Ein(g)≈Eout(g)和Ein(g)≈0。对于第一个问题，我们探讨了M个hypothesis到底可以划分为多少种，也就是成长函数mH。并引入了break point的概念，给出了break point的计算方法。下节课，我们将详细论证对于2D perceptrons，它的成长函数与break point是否存在多项式的关系，如果是这样，那么机器学习就是可行的。

本文由职坐标整理并发布，希望对同学们有所帮助。了解更多详情请关注职坐标人工智能机器学习频道！