本文主要向大家介绍了机器学习入门之机器学习中梯度下降法和牛顿法的比较，通过具体的内容向大家展现，希望对大家学习机器学习入门有所帮助。

梯度下降法

梯度下降法用来求解目标函数的极值。这个极值是给定模型给定数据之后在参数空间中搜索找到的。迭代过程为：

可以看出，梯度下降法更新参数的方式为目标函数在当前参数取值下的梯度值，前面再加上一个步长控制参数alpha。梯度下降法通常用一个三维图来展示，迭代过程就好像在不断地下坡，最终到达坡底。为了更形象地理解，也为了和牛顿法比较，这里我用一个二维图来表示：

懒得画图了直接用这个展示一下。在二维图中，梯度就相当于凸函数切线的斜率，横坐标就是每次迭代的参数，纵坐标是目标函数的取值。每次迭代的过程是这样：

首先计算目标函数在当前参数值的斜率（梯度），然后乘以步长因子后带入更新公式，如图点所在位置（极值点右边），此时斜率为正，那么更新参数后参数减小，更接近极小值对应的参数。
如果更新参数后，当前参数值仍然在极值点右边，那么继续上面更新，效果一样。
如果更新参数后，当前参数值到了极值点的左边，然后计算斜率会发现是负的，这样经过再一次更新后就会又向着极值点的方向更新。

根据这个过程我们发现，每一步走的距离在极值点附近非常重要，如果走的步子过大，容易在极值点附近震荡而无法收敛。解决办法：将alpha设定为随着迭代次数而不断减小的变量，但是也不能完全减为零。

牛顿法

首先得明确，牛顿法是为了求解函数值为零的时候变量的取值问题的，具体地，当要求解 f(θ)=0时，如果 f可导，那么可以通过迭代公式

来迭代求得最小值。通过一组图来说明这个过程。

当应用于求解最大似然估计的值时，变成?′(θ)=0的问题。这个与梯度下降不同，梯度下降的目的是直接求解目标函数极小值，而牛顿法则变相地通过求解目标函数一阶导为零的参数值，进而求得目标函数最小值。那么迭代公式写作：

当θ是向量时，牛顿法可以使用下面式子表示：

其中H叫做海森矩阵，其实就是目标函数对参数θ的二阶导数。

通过比较牛顿法和梯度下降法的迭代公式，可以发现两者及其相似。海森矩阵的逆就好比梯度下降法的学习率参数alpha。牛顿法收敛速度相比梯度下降法很快，而且由于海森矩阵的的逆在迭代中不断减小，起到逐渐缩小步长的效果。

牛顿法的缺点就是计算海森矩阵的逆比较困难，消耗时间和计算资源。因此有了拟牛顿法。
        
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