本文主要向大家介绍了机器学习入门之[机器学习]神经网络反向传播的推导，通过具体的内容向大家展现，希望对大家学习机器学习入门有所帮助。

神经网络反向传播的推导

对于神经网络的训练过程而言，其反向传播算法是训练过程的核心，神经网络根据预测值y^y^与实际值yy的偏差从后向前来计算损失函数对于各个参数的梯度，从而利用梯度下降的方法来优化训练神经网络的各个参数。

神经网络的计算流程图如下： 
 
 从该流程图可以看到，如果我们要计算神经网络的参数W[1],b[1],W[2],b[2]W[1],b[1],W[2],b[2]，首先需要计算∂L∂a[2]∂L∂a[2]和∂a[2]∂z[2]∂a[2]∂z[2]，然后根据链式法则得到∂L∂z[2]=∂L∂a[2]∂a[2]∂z[2]∂L∂z[2]=∂L∂a[2]∂a[2]∂z[2]。

之后再计算∂z[2]∂W[2]∂z[2]∂W[2]和∂z[2]∂b[2]∂z[2]∂b[2]，同样根据链式法则可以得到∂L∂W[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂W[2]∂L∂W[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂W[2]以及得到∂L∂b[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂b[2]∂L∂b[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂b[2]。这样便得到了dW[2]dW[2]和db[2]db[2]。

另外对于dW[1]dW[1]和db[1]db[1]的计算，需要先计算∂z[1]∂W[1]∂z[1]∂W[1]，∂a[1]∂z[1]∂a[1]∂z[1]和∂z[2]∂a[1]∂z[2]∂a[1]，同样根据链式法则可以得到∂L∂W[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂W[1]∂L∂W[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂W[1]，以及∂L∂b[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂b[1]∂L∂b[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂b[1]。这样也得到了dW[1]dW[1]和db[1]db[1]。

在使用随机梯度下降(SGD)优化算法以及交叉熵(Cross Entropy)损失函数的时候，我们令a[2]=y^a[2]=y^，即损失函数： 

L(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))L(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))

使用sigmoid激活函数，即 

a[1]=σ(z[1])=11+e−z[1]a[2]=σ(z[2])=11+e−z[2]a[1]=σ(z[1])=11+e−z[1]a[2]=σ(z[2])=11+e−z[2]

将该激活函数和损失函数代入上面的计算过程，可以得到： 

dz[2]=a[2]−ydW[2]=dz[2]a[1]Tdb[2]=dz[2]dz[1]=W[2]Tdz[2]∗σ′(z[1])dW[1]=dz[1]xTdb[1]=dz[1]dz[2]=a[2]−ydW[2]=dz[2]a[1]Tdb[2]=dz[2]dz[1]=W[2]Tdz[2]∗σ′(z[1])dW[1]=dz[1]xTdb[1]=dz[1]

 在进行随机梯度下降的过程中，随机选取样本中的一个错误分类点，根据该点计算当前的dW[1],db[1],dW[2],db[2]dW[1],db[1],dW[2],db[2]，然后利用以下公式来更新W[1],b[1],W[2],b[2]W[1],b[1],W[2],b[2]： 

W[2]:=W[2]−α∗dW[2]b[2]:=b[2]−α∗db[2]W[1]:=W[1]−α∗dW[1]b[1]:=b[1]−α∗db[1]W[2]:=W[2]−α∗dW[2]b[2]:=b[2]−α∗db[2]W[1]:=W[1]−α∗dW[1]b[1]:=b[1]−α∗db[1]

 直到收敛为止。

对于神经网络的训练，还有批量梯度下降(Batch Gradient Descent)和小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)，带动量的随机梯度下降(Momentum)，RMSProp，Adam等方法，后面再做详解。

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